Entfernungsberechnung

Dass die Erde keine Scheibe ist, wissen wir längst! Die Vorstellung einer flachen Erde war in vielen frühen Kulturen verbreitet. Doch bereits in der Antike, etwa ab dem 6. Jhd. v. Chr. philosophierte Pythagoras und später Aristoteles über die Kugelgestalt der Erde ¹⁾. Eine Kugel ist die Erde jedoch auch nicht - sie ähnelt eher einer Kartoffel ²⁾, dessen Rotationsellipsoid Geoid ³⁾ genannt wird. So ist die geometrische Form der Erde u. a. an den Polen abgeflacht. Für unsere Berechnungen gehen wir jedoch von einem einheitlichen Radius von 6.371 km aus, der in etwa dem mittleren Erdradius entspricht und für die Berechnungen ausreichend genau ist.

Der Erddurchmesser beträgt ungefähr 2 x 6.371 km ≈ 12.742 km.

Wie bestimmt man die Lage eines Ortes?

Eine Kugel, von der wir in unseren Berechnungen ausgehen, hat keinen Start- und Endpunkt. Wie kann man trotzdem eine Position bestimmen? Feste Größen, an denen man sich orientiert, sind die Erdachse mit den dazugehörigen Erdpolen (Nord- und Südpol), der Äquator und der Nullmeridian (der Längengrad 0), der 1884 durch die Internationale Meridiankonferenz festgelegt wurde und durch die Sternwarte in Greenwich (London) verläuft. Der Nullmeridian wurde auf Basis der mittleren Sonnenzeit ermittelt. Hier kam es jedoch zu einem Messfehler - der tatsächliche Nullmeridian liegt heute 102,5 Meter östlich im Greenwich Park.

Anhand der Geokoordinaten kann man die Position eines Ortes auf der Erdkugel bestimmen. Was sind jedoch genau die Koordinaten eines Ortes? Genau genommen besteht ein Ort aus einer Menge von Koordinaten, die jeden Punkt innerhalb der Ortsgrenzen beschreiben. Durch die Beschreibung der Ortsgrenze kann die Lage des Orts ziemlich genau bestimmt werden. Für unsere Berechnungen benutzen wir i. d. R. den Mittelpunkt, b.z.w. das Zentrum eines Ortes.

Längen- und Breitengrad

Die Erde ist in Längengrade und Breitengrade aufgeteilt. Längengrade verlaufen vom Nordpol zum Südpol und sind jeweils einen halben Erdumfang lang.

Der Erdumfang beträgt ungefähr 2 x π ⁴⁾ x 6.371 km ≈ 40.030 km.

Die Längengrade werden jeweils 180° in östlicher und westlicher Richtung vom Nullmeridian aus gezählt. Die Breitengrade beginnen mit 0 im Äquator und werden jeweils 90° in nördlicher und südlicher Richtung gezählt (Nord- und Südhalbkugel). Der Äquator (Breitengrad 0) sowie zwei gegenüberliegende Längengrade, bilden einen Ganzkreise, deren Umfang dem Erdumfang von ≈ 40.000 km entspricht. Da ein voller Kreis immer 360° hat, ergibt sich eine Länge für ein Grad von ≈ 40.000 km ⁵⁾ / 360° ≈ 111,11 km. Genauer wird ein Grad durch 60 nautische Meilen (NM) beschrieben, wobei eine nautische Meile mit 1.852 m definiert ist.

60 nautische Meilen x 1.852 m / 1000 = 111,12 km.

Das bedeutet insgesamt, dass die Entfernungen zwischen den Breitengraden jeweils 111,12 km beträgt, für die Längengrade gilt das nur im Schnittpunkt mit dem Äquator. Der Abstand der Längengrade für einen beliebigen Breitengrad errechnet sich durch die Formel cos(Breitengrad) x 111,12 km.

Grundsätzlich besteht eine Geokoordinate aus einem Breitengrad und einem Längengrad, wobei der Breitengrad immer zuerst genannt wird. Klassisch werden Gradangaben im Format Grad Minuten' Sekunden" Himmelsrichtung angegeben (= Sexagesimal-Format). Dabei gilt, das 60 Minuten gleichbedeutend mit 60 nautischen Meilen sind und ein Grad ergeben, 60 Sekunden ergeben wiederum eine Minute - Beispiel: 47° 25' 12" N. Heute werden Geokoordinaten meist dezimal angegeben.

Umrechung Sexagesimal- zu Dezimal-Format: Grad + Minute/60 + Sekunde/3600.

So kann zum Beispiel die Koordinate der Zugspitze (47° 25' N, 10° 59' O) in ≈ 47.4167 N, 10.9833 O umgerechnet werden. Oft wird bei der dezimalen Schreibweise auf die Himmelsrichtungen verzichtet und stattdessen ein negatives Vorzeichen für südliche und westliche gelegene Koordinaten benutzt (47.4167°, 10.9833°).

Berechnung der Entfernung

Liegen zwei Geokoordinaten auf demselben Längen- oder Breitengrad, so können wir die Entfernungsberechnung stark vereinfachen. Wir können bei unserer Berechnung von einem Kreis ausgehen, was die Berechnung stark vereinfacht. Normalerweise liegen zwei Orte aber an beliebigen Punkten auf der Kugel, was die Berechnung erschwert.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten für die Berechnung von Entfernungen zwischen Geokoordinaten. Willst du besonders genau rechnen, oder soll die Berechnung möglichst schnell erfolgen? Für eine einfache Umgebungssuche, bei der z. B. alle Orte im Umkreis von 50 km gesucht werden, kann man einfach auf den Satz des Pythagoras a² + b² = c² unter Berücksichtigung des Breitengrades zurückgreifen, da die geringe Erdkrümmung hier nur eine zu vernachlässigende Ungenauigkeit in der Berechnung liefert, dafür benötigt die Berechung wenig Rechenzeit, was bei großen Datenmengen von Vorteil sein kann.

Für die Berechung von größeren Entfernungen sollte eine genauere Methode verwendet werden - die einfache Berechnung liefert bei größeren Entfernungen zu große Abweichungen. Benutzen Sie alternativ folgende Formel, die auf der Haversine-Formel ⁶⁾ basiert:

Entfernung in km = acos(sin(Breitengrad 1) x sin(Breitengrad 2) + cos(Breitengrad 1) x cos(Breitengrad 2) x cos(Längengrad 1 - Längengrad 2) ) * Erdradius

Die Breiten- und Längengrade müssen bei dieser Entfernungsberechnung im Bogenmaß angegeben werden. Die Umrechung des dezimalen Formats in das Bogenmaß erfolgt über die Formel Grad / 180 x π (≈ 3,141).

Es gibt noch genauere Berechnungen - das Plus an Genauigkeit erkaufen Sie sich jedoch durch sehr komplexe Formeln. Die Vincenty-Methode basiert auf den Eigenschaften eines Ellipsoids und verwendet iterative Berechnungen, um die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten - den sogenannten Geodätischen Abstand - zu bestimmen. Die Methode liefert eine Genauigkeit bis auf wenige Milimeter.

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Fußnoten

¹⁾ Im Mittelalter war die Idee einer kugelförmigen Erde unter Gelehrten weit verbreitet, auch innerhalb der Kirche. Der Mythos, dass man im Mittelalter an eine flache Erde glaubte, entstand erst im 19. Jahrhundert und ist historisch nicht korrekt!
²⁾ Im Juni 2011 veröffentlichte das Deutsche GeoForschungsZentrum (GFZ) in Potsdam das als Potsdamer Kartoffel bekannt gewordene Schweremodell EIGEN-6C. Dieses globale Modell wurde aus den kombinierten Daten verschiedener Sat-Messungen und anderen Messmethoden erstellt.
³⁾ Ein Geoid ist die theoretische Form der Erdoberfläche, die durch die mittlere Meereshöhe definiert wird, wenn man die Ozeane als perfekte ruhende Flüssigkeit ohne Strömungen oder Wellen betrachtet. Vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Geoid, abgerufen am 01.04.2025
⁴⁾ Kreiszahl π ≈ 3,1416
⁵⁾ Der Äquatorumfang beträgt ~ 40.075 km, der Umfang zweier gegenüberliegenden Längenkreise beträgt ~ 40.008 km.
⁶⁾ Haversine-Formel, abgerufen am 01.04.2025